課程名稱：常微分方程

　　一、考試的總體要求

　　本門課程主要考察學(xué)生對(duì)常微分方程的基本概念、基本原理以及基本解法的掌握程度。并且要求學(xué)生能夠?qū)ι鲜龌�本知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用，具有較強(qiáng)的分析問(wèn)題、建立模型、解決問(wèn)題的能力。

　　二、 考試的內(nèi)容及比例

　　1、緒論(5 ～ 10%)：

　　(1) 掌握微分方程的基本概念。

　　(2) 了解利用物理基本概念建立簡(jiǎn)單微分方程模型。

　　2、一階微分方程的初等解法(10 ～ 30%)：

　　(1) 掌握變量可分離方程及可化為變量可分離方程的求解、線性方程的概念及常數(shù)變易法的使用、恰當(dāng)方程的判定以及積分因子的計(jì)算;

　　(2) 理解一階隱方程的求解及參數(shù)表示。

　　3、一階微分方程解的存在定理(10 ～ 20%)：

　　(1) 掌握解的存在唯一性的證明方法，唯一性定理?xiàng)l件和結(jié)論。

　　(2) 熟練運(yùn)用解的存在唯一性定理計(jì)算解的存在區(qū)間。

　　(3) 理解包絡(luò)和奇解的概念，會(huì)求解克萊羅(Clairaut)方程。

　　(4) 了解解的延拓以及解對(duì)初值問(wèn)題的連續(xù)與可微性。

　　4、高階微分方程(15 ～ 30%)：

　　(1) 掌握齊次線性方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)、非齊次線性方程與常數(shù)變易法。

　　(2) 熟練運(yùn)用各種常系數(shù)線性微分方程的解法。包括：常系數(shù)齊次線性方程和歐拉方程，非齊次線性方程。

　　(3) 理解比較系數(shù)法與拉普拉斯(Laplace)變換法求解線性方程。

　　(4) 了解一些可降階的方程的求解。

　　5、線性微分方程組(15 ～ 30%)：

　　(1) 掌握矩陣指數(shù)expA的定義和性質(zhì)、基解矩陣的計(jì)算公式。

　　(2) 熟練運(yùn)用常數(shù)變易法求解線性微分方程組。

　　(3) 理解線性微分方程組存在唯一性定理以及拉普拉斯變換解線性微分方程組。

　　6、非線性微分方程和穩(wěn)定性(5 ～ 15%)：

　　(1) 掌握線性系統(tǒng)平衡點(diǎn)(奇點(diǎn))類型的判斷方法。

　　(2) 熟練運(yùn)用按線性近似確定微分方程組的穩(wěn)定性的方法。

　　(3) 理解Lyapunov第二方法。

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