課程名稱：復變函數(shù)

　　一、考試的總體要求

　　本門課程主要要求：掌握該課程的基本概念及其性質(zhì)，掌握復變函數(shù)的微積分理論、級數(shù)理論、留數(shù)、共形映射等方面的基礎知識和基本方法，要求能用這些理論和方法解決有關問題的能力。

　　二、考試的內(nèi)容及比例

　　1、復數(shù)與復變函數(shù)(5%～10%)：

　　(1) 掌握復數(shù)、復平面上的點集、復數(shù)的四則運算、乘方與開方、復數(shù)的三角表示。

　　(2) 掌握復變函數(shù)、極限、連續(xù)性。

　　(3) 了解約當曲線定理、復球面與無窮遠點。

　　2、解析函數(shù)(10%～20%)：

　　(1) 掌握解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼條件、求導法則、可微的必要條件和充分條件、奇點。

　　(2) 多值解析函數(shù)的支點、割線、解析分支。

　　(3) 掌握初等解析函數(shù)(正整數(shù)次冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù))。

　　(4) 了解初等多值函數(shù)(根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù))、 初等多值函數(shù)(反三角函數(shù)、一般指數(shù)函數(shù)、一般冪函數(shù))。

　　3、復變函數(shù)的積分(15%～25%)：

　　(1) 掌握復積分的概念及基本性質(zhì)。

　　(2) 掌握柯西積分定理(單連通與復連通域)、定積分與原函數(shù)。

　　(3) 掌握柯西積分公式、解析函數(shù)的無窮可微性、劉維爾定理、莫勒拉定理。

　　(4) 理解調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的概念。

　　4、解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法(10～15%)：

　　(1) 了解復級數(shù)的基本性質(zhì)、收斂與一致收斂性。

　　(2) 掌握冪級數(shù)、收斂半徑、和函數(shù)性質(zhì)、解析函數(shù)的泰勒展式、初等函數(shù)的泰勒展開。

　　(3) 掌握解析函數(shù)零點的孤立性及唯一性定理、最大模原理。

　　5、解析函數(shù)的羅朗展式與孤立奇點(10%～15%)：

　　(1) 掌握解析函數(shù)的羅朗展式、解析函數(shù)的孤立奇點。

　　(2) 掌握解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)。

　　(3) 了解整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念及性質(zhì)。

　　6、留數(shù)理論及基應用(10%～15%)：

　　(1) 掌握留數(shù)的概念和求法、利用留數(shù)計算周線積分。

　　(2) 會利用留數(shù)定理計算一些實積分(前三種類型)。

　　(3) 掌握幅角原理、儒歇定理及應用。

　　7、共形映射(5%～10%)：

　　(1) 掌握解析變換的特征、導數(shù)的幾何意義、單葉解析函數(shù)的基本性質(zhì)。。

　　(2) 掌握分式線性變換的映射特性、某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射。

　　三、參考書目

　　《復變函數(shù)論》(第三版)鐘玉泉編 高等教育出版社 2004.6

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